AI’s Paradox: Das unlösbare Problem des maschinellen Lernens

Wie ein logisches Paradoxon die Zukunft künstlicher Intelligenz beeinflusst.

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Künstliche Intelligenz (KI) ist weltweit im Handel, in der Wissenschaft, im Gesundheitswesen, in der Geopolitik und in anderen Bereichen im Trend. Deep Learning, eine Untergruppe des maschinellen Lernens, ist der Hebel, der den weltweiten Ansturm ausgelöst hat – ein Gebiet von strategischem Interesse für Forscher, Wissenschaftler, visionäre CEOs, Akademiker, geopolitische Denkfabriken, Pionierunternehmen, scharfsinnige Risikokapitalgeber, Strategieberater und Führungskräfte von Unternehmen aller Größen. Inmitten dieser KI ist die Renaissance ein relativ grundlegendes, aber unlösbares Problem beim maschinellen Lernen, das weder allgemein bekannt ist noch außerhalb des kleinen Kaders von Philosophen und Experten für künstliche Intelligenz häufig diskutiert wird.

Ein globales Forscherteam aus Forschern hat kürzlich gezeigt, dass maschinelles Lernen ein unlösbares Problem darstellt, und veröffentlichte seine Ergebnisse in Nature Machine Intelligence im Januar 2019. Forscher der Princeton University, der University of Waterloo, des Technion-IIT, der Tel Aviv University und des Instituts der Mathematik der Akademie der Wissenschaften der Tschechischen Republik hat bewiesen, dass die Lernfähigkeit der KI mit den Standard-Axiomen der Mathematik weder nachgewiesen noch widerlegt werden kann. Ein Axiom oder Postulat ist eine mathematische Aussage, die ohne Beweise selbstverständlich wahr ist.

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Um zu verstehen, warum und wie die Forscher zu dieser Schlussfolgerung gelangt sind, ist ein Rückblick erforderlich, lange bevor der Begriff „künstliche Intelligenz“ in einem völlig anderen Forschungsfeld als der Informatik geprägt wurde: im Bereich der Mathematik, insbesondere der Kontinuumshypothese.

In der Mathematik ist die Kontinuumshypothese eine vorgeschlagene Erklärung hinsichtlich der möglichen Größen von unendlichen Mengen. Ein Satz in der Mathematik ist eine Sammlung von Objekten. Unabhängig davon, ob die Mengen unendlich sind (ohne Grenzen oder Grenzen) oder endlich sind, müssen Sie die einzelnen Elemente nicht zählen, um sie zu vergleichen.

Um beispielsweise herauszufinden, ob Sie mehr Trikots als Spieler in einer Fußball- oder Fußballmannschaft haben oder umgekehrt, muss der Trainer nur einen kurzen Blick darauf werfen, ob noch Trikots übrig sind oder Spieler, die Uniformen tragen. Der deutsche Mathematiker Georg Cantor wendete 1874 einen ähnlichen Ansatz für dieses Konzept an, um zu veranschaulichen, dass die Menge der reellen Zahlen (positive oder negative Werte, die eine Menge entlang einer Zahlenlinie darstellen) größer ist als die Menge der natürlichen Zahlen (positive ganze Zahlen) dies kann Null sein oder auch nicht, je nach verwendetem Standard).

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Cantor war der erste, der feststellte, dass es zwischen den unendlichen Mengen von Ganzzahlen und reellen Zahlen (dem Kontinuum) um 1878 keinen unendlichen Satz mit einer Kardinalzahl (Zahlen, die zum Zählen verwendet werden, die die Menge und nicht die Position in einer Liste darstellt) gibt. Cantor zeigte, dass das Kontinuum nicht abzählbar ist – reelle Zahlen sind unendlich viel größer als das Zählen von Zahlen. Diese Entdeckung leitete den Bereich der Mengenlehre der Mathematik ein.

Der deutsche Mathematiker David Hilbert (1862–1943) präsentierte 1900 auf dem Internationalen Mathematikerkongress in Paris eine Liste ungelöster mathematischer Probleme, von denen “Cantors Problem der Kardinalzahl des Kontinuums” an erster Stelle stand.

Dies blieb über drei Jahrzehnte ungelöst, bis der Mathematiker Kurt Gödel nachwies, dass die Negation der Kontinuumshypothese nicht in der Standardsatztheorie nachgewiesen werden konnte. Gödel wurde 1906 in der Tschechischen Republik geboren. Gödel war ein Befürworter des mathematischen Platonismus und betrachtete Mathematik als beschreibende Wissenschaft. Gödel und Albert Einstein waren Freunde und machten tägliche Spaziergänge, während sie beide am Institute for Advanced Study waren. Das Institute for Advanced Study ist ein unabhängiges Postdoc-Forschungszentrum in Princeton, New Jersey – ein führendes Zentrum für neugierorientiertes Streben nach Wissen mit über 33 Nobelpreisträgern, 42 Fields-Medaillengewinnern, 17 Abel-Preisträgern und vielen MacArthur-Fellows und vielen Wolf-Preisen Empfänger seiner Fakultät und Mitglieder.

„Gödel war der erste Mann, der demonstrierte, dass bestimmte mathematische Theoreme mit der anerkannten, strengen Methode der Mathematik weder bewiesen noch widerlegt werden können. Gödel hat diesen Satz tatsächlich nicht nur in Bezug auf die Mathematik bewiesen, sondern für alle Systeme, die eine Formalisierung erlauben ist eine strenge und erschöpfende Beschreibung in Bezug auf die moderne Logik: Denn kein solches System kann mit den Mitteln des Systems selbst unter Beweis gestellt werden. “- John von Neumann (Mathematiker, Physiker, Informatiker)

Gödel hat gezeigt, dass ein Widerspruch besteht, wenn die Kontinuumshypothese zum axiomatischen System der Zermelo-Fraenkel-Satztheorie (ZFC) hinzugefügt wird. Erst Anfang der 1960er Jahre wurde Gödels Arbeit an der Kontinuumshypothese abgeschlossen. Der amerikanische Mathematiker Paul Cohen hat gezeigt, dass das Nichtvorhandensein eines Sets mittlerer Größe unbeweisbar ist. Cohen (1934–2007) erhielt 1967 die National Medal of Science, 1966 Fields Medal for Logic und 1964 den Bôcher-Preis der American Mathematical Society für Analysen. Mit der Set-Theorie-Methode des Forcierens zeigte Cohen, dass die Negativität der Kontinuumshypothese der Set-Theorie hinzugefügt würde, und es würde keinen Widerspruch geben.

Zusammen stellten die Arbeiten von Gödel und Cohen fest, dass die Gültigkeit der Kontinuumshypothese unentscheidbar war, weil sie von der verwendeten Version der Mengenlehre abhängig war – sie kann weder als richtig noch als falsch bezeichnet werden.

Schneller Vorlauf zur heutigen Zeit, wo Forscher einen Beweis erstellen, der darauf beruht, dass „die Kontinuumshypothese nicht bewiesen oder widerlegt werden kann“, und zumindest in bestimmten Fällen zeigt, dass „eine Lösung für das Problem der Abschätzung des Maximums äquivalent ist die Kontinuumshypothese. ”

Ein Computeralgorithmus – genau definierte Anweisungen, mit denen Computer Probleme lösen können – basiert auf Logik, einer Form der Argumentation. Algorithmen für künstliche Intelligenz verwenden Prinzipien aus Mathematik und Statistik, damit Maschinen ohne explizite Programmierung arbeiten können, auch bekannt als “Hardcoding”. Für die Studie konzentrierten sich die Forscher auf ein Lernproblem, das als “Estimated Maximum” (EMX) bezeichnet wurde. Mit Hilfe des EMX-Modells stellte das Team fest, dass es unabhängig von der verwendeten mathematischen Methode keine Garantie dafür ist, ob künstliche Intelligenz die Aufgabe bewältigen kann oder nicht. Das Team vermutet, dass die Lernfähigkeit einer Maschine (Lernfähigkeit) durch unbeweisbare Mathematik begrenzt ist.

So hat ein gelehrtes Konzept von unendlichen Mengen und mathematischen Vermutungen aus den 1800er und 1900er Jahren moderne Bedeutung und kann die Zukunft des maschinellen Lernens in diesem Jahrhundert und darüber hinaus beeinflussen.

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Verweise

Wolfram MathWorld. Abgerufen 3-13-2019 von http://mathworld.wolfram.com/

Kaplansky, Irving. “David Hilbert.” Encyclopædia Britannica. 10. Februar 2019.

Levy, Morgendämmerung “Paul Cohen, Gewinner des weltbesten Mathematikpreises, stirbt mit 72 Jahren.” Stanford News. 28. März 2007.

IAS. Abgerufen 3-13-2019 von https://www.ias.edu/