Gott, Mathematik und Psychologie

Quelle: Mario Garrett

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Mathematik übersetzt Muster in reduzierbare Teile. Diese Teile bilden Sätze – inkrementelles Schließen basierend auf einer Kette von formalen Beweisen – die der Logik entsprechen, aber über die Logik hinaus funktionieren. Mathematiker argumentieren, dass diese Muster universell und real sind und dass das verbindende System der reduzierbaren Teile das ist, was Mathematik ausmacht – eine Sprache der räumlichen Positionierung, Geometrie, Zahlen, Volumen, Bewegung und Muster. Dies sind komplexe Muster, die zu komplexen Theoremen führen.

Manchmal existieren diese Muster in der Realität und erweisen sich als nützlich für die Vorhersage von physikalischen Ereignissen im Universum. Während sie zu anderen Zeiten die perfekte Verkörperung einer kognitiven Welt sind – wahre Formen, die hauptsächlich in unserer Vorstellung existieren, wie der perfekte Kreis. Manchmal beziehen sich die Theoreme auf Muster, die einzig – soweit wir wissen oder noch – im Bereich der Imagination einer Gruppe von Mathematikern liegen. Obwohl Mathematik von Mathematikern nicht zur Erklärung unserer Realität aufgebaut wird, gibt es jedoch eine symbiotische Beziehung, in der Beweise aus der physischen Erfahrungswelt kommen können.

Die Grundlage dafür, Mathematik zu mehr als nur einem komplexen System der Theorembildung zu erheben, ist die Rolle, die die Mathematik von Pythagoras (6. Jahrhundert v. Chr.) Erhielt. Pythagoras glaubte, Zahlen seien nicht nur der Weg zur Wahrheit, sondern die Wahrheit selbst. Diese Mathematik beschrieb nicht nur das Werk Gottes, sondern auch die Art und Weise, wie Gott arbeitete. Dieser Glaube, dass Mathematik eine intrinsische Wahrheit besitzt, bleibt heute bei den Mathematikern. Sie glauben, dass Mathematik die Sprache der Götter ist. Und das ist ein Problem, wenn Sie nicht an Gott glauben oder an einem überlordischen Prinzip der Existenz – an nichts, was wir ohnehin verstehen können. Die Wissenschaft ist per definitionem Atheist und Agnostiker, ungeachtet dessen, was einzelne Wissenschaftler glauben. Die meisten Mathematiker benehmen sich wie Deists, die glauben, dass Gott das Universum erschaffen hat, aber dass Naturgesetze bestimmen, wie das Universum ausgeht. Dies ist ein epikureischer (341-270 v. Chr.) Glaube, dass die Götter zu beschäftigt sind, um mit dem alltäglichen Lauf des Universums fertig zu werden, aber sie setzten es mit Mathematik in Bewegung.

Mathematiker argumentieren daher, dass Mathematik eine höhere Ordnung ist, die in der Realität gefunden wird. Aber solche Beweise gibt es nicht. Mathematiker argumentieren, dass sie eher Entdecker als Erfinder sind. Aber diese Dichotomie scheint auch falsch zu sein. Mathematiker scheinen beides zu tun, meistens zur gleichen Zeit. Der britische Philosoph Michael Dummett schlägt vor, dass mathematische Theoreme ins Leben gerufen werden – er benutzt den Begriff Sondieren (Dummett, 1964). Mit der Analogie des Schachspiels, wo "es allgemein angenommen wird … dass das Schachspiel eine abstrakte Entität ist" (Dummett, 1973). Aber es gibt sicherlich einen Sinn, in dem das Spiel ohne die geistige Aktivität des Menschen nicht existiert hätte. Es ist wahnhaft zu glauben, dass, nur weil wir ein ansprechendes Muster oder ein Spiel finden, das über Kulturen hinweg schwingt, dass der Grund dafür ist, dass es einen Gott gibt, der dahinter steht. Aber Mathematiker argumentieren, dass Schach oder Theoreme nicht ausschließlich Produkte unseres Geistes sind, da es dort schon etwas zu produzieren gibt. Aber das Argument der Gegenseite ist ebenso wahr, dass mathematische "Wahrheiten" vollständig von uns abhängig sind, da wir sie dazu bringen müssen, sie ins Dasein zu bringen.

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Dasselbe gilt für Sprache, Kunst, Musik und andere "Dritte-Welt" -Konstrukte – das sind inkrementell sich entwickelnde Systeme und bilden eines von Karl Poppers ontologischen Werkzeugen (Carr, 1977). In der Dritten Welt existiert das entwickelte System jenseits des Schöpfers. Die Sprache ist ein hervorragendes Beispiel, obwohl die Dritte Welt auch abstrakte Objekte wie wissenschaftliche Theorien, Geschichten, Mythen, Werkzeuge, soziale Institutionen und Kunstwerke umfasst. Die Sprache ist inkrementell und entwickelt sich ständig weiter und dient dazu, uns dabei zu helfen, die Realität zu kommunizieren. In dieser Dritten Welt wird sowohl die Sprache als auch die Mathematik als sowohl entdeckt als auch erfunden bezeichnet.

Die Theorie der Sprachentwicklung schwankt zwischen zwei Denkrichtungen. Eine Schule, die argumentiert, dass Sprache kulturgebunden ist, ist als Deskriptivisten bekannt. Und auf der anderen Seite steht das Argument, das die Sprache als Teil unserer biologischen Zusammensetzung fördert, die sogenannten Generativisten. Als Generativist formulierte Chomsky (1980, S. 134) es wortgewandt, als er sagte: "Wir lernen Sprache nicht wirklich; vielmehr wächst die Grammatik im Kopf ". Die Analogie zwischen formalen mathematischen Systemen und menschlichen Sprachen ist keine neue oder neue Idee. Tatsächlich wurde eine solche formale Sprachtheorie von Noam Chomsky in seiner modernen Form bereits in einem Versuch entwickelt, die Berechnungsbasis nicht nur der menschlichen Sprache systematisch zu erforschen, sondern sie wurde auf eine Vielzahl von regelgeleiteten Systemen über mehrere Domänen anwendbar – Computerprogramme, Musik, visuelle Muster, tierische Laute, RNA-Struktur und sogar Tanz (Fitch & Friederici, 2012). Diese symbiotische Beziehung existiert über alle Konstrukte der Dritten Welt: Mathematik und Musik, Musik und Kunst, Kunst und Sprache und alle anderen Permutationen. Wie bei der Mathematik verfeinern wir die Sprache mit der Zeit. Zukünftige Generationen bauen auf Sprache und Mathematik auf und die einzige Einschränkung scheint unsere Psychologie zu sein. Ähnlich hat die Mathematik diese inkrementelle Natur. Der letzte Satz einer Rede von Fine über Mathematik "Die einzige Beschränkung ist unsere Vorstellungskraft und was wir angemessen oder angenehm finden." (Fine, 2012: p27). Was wir als angemessen und erfreulich empfinden, ist der Ort, wo die Psychologie hereinkommt und unser Hinweis auf den Beginn der Mathematik und die Beschreibung unserer Psychologie.

Als Leitfaden müssen wir zu früherer (und einfacherer) Mathematik zurückkehren, um dieses Prinzip des "Erfreuens" zu verstehen. Pythagoras und Musik sind die Grundlage für eine Konvergenz zwischen Mathematik und Psychologie. Pythagoras (6. Jh. V. Chr.) Bemerkte, dass, als der Schmied auf seinen Amboss schlug, je nach Gewicht des Hammers verschiedene Töne erzeugt wurden. Später stellte er fest, dass das Verhältnis der Länge zweier Streicher die Oktave bestimmt, "dass die musikalischen Hauptintervalle in einfachen mathematischen Verhältnissen zwischen den ersten vier ganzen Zahlen ausgedrückt werden können" (Kirk & Raven, 1964: S.229). Also die "Oktave = 2: 1, fünfte = 3: 2, vierte = 4: 3" (S.230). Diese Verhältnisse harmonisieren, was bedeutet, dass sie sowohl dem Verstand als auch dem Ohr gefallen. Obwohl dieses mathematische System zusammenbricht, je höher wir die Skala hinaufgehen, gab es eine Lösung, indem wir das Verhältnis des fünften so einstellen, dass es mit sieben Oktaven vergleichbar ist. Sieben Oktaven sind 128: 1 oder 27. John Stillwell (2006) argumentiert, dass "gleiche Halbtöne" oder "gleiches Temperament" (S.21) fast zeitgleich in China von Zhu Zaiyu (Chu Tsai-yü) 1584 entwickelt wurde (Während der Ming-Dynastie und des Simon Steven 1585 in den Niederlanden (Ross, 2001). Aber der Punkt ist, dass eine mathematische Regel auf der Grundlage einer Harmonie entwickelt wurde, die wir Menschen als angenehm empfinden.

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In der Natur sind alle Töne gleich. Wenn Gott alles erfunden hat, dann ist alles perfekt, einschließlich unvollkommener Linien, dissonantem Klang und zufälligen Ereignissen. Der Schöpfer des Universums schuf alle Akustik, alle Sounds sind perfekt. Die Natur kann nicht zwischen ihnen unterscheiden, da sie alle notwendig und nützlich sind. Daher ist die Auswahl von Obertönen eher psychologisch als göttlich. Wir mögen die Trennung von Tonleitern, weil wir jeden Klang psychologisch aufteilen können. Wir sind Geschöpfe der Ordnung und Konsistenz und ziehen es vor, unterschiedliche und unterscheidbare Töne zu haben. In Wirklichkeit gibt es keine Oberschwingungen, wir betrachten es als Menschen, weil es angenehm ist und wir es leicht wahrnehmen, weil sie in einer geordneten Weise organisiert sind, die Menschen als Mathematik identifizieren.

Solche psychologischen Präferenzen sind automatisch und erfordern keine Verarbeitung und kein Denken von unserer Seite. Diese Automatisierung kann leicht gestört werden, indem ein Ton gespielt wird, der scheinbar ohne Ende immer größer oder kleiner wird. Ein solcher Ton wurde von Roger Shepard entwickelt und besteht aus einer Überlagerung von durch Oktaven getrennten Sinuswellen. Dies erzeugt die auditive Illusion eines Tones, der kontinuierlich in der Tonhöhe auf- oder absteigt, jedoch konstant bleibt.

Der Shepard Tone erzeugt nicht nur Dissonanz, weil er uns schwer zu verstehen ist, er erzeugt auch Unbehagen als Ergebnis dieser Dissonanz, er verursacht eine emotionale Unruhe. Wir werden unbehaglich, wenn wir unsere Wahrnehmung nicht einschränken können. Wir brauchen Töne, die sich in einem vorgeschriebenen Abstand voneinander befinden, die die Wahrnehmung erleichtern. Pythagoras definierte die erste mathematische Regel für die auditive Wahrnehmung, die Definition einer Oktave, die unserer Psychologie für Ordnung und Form gefällt. Die Tatsache, dass sowohl Europäer als auch Chinesen dies gleichzeitig herausgefunden haben, deutet darauf hin, dass sich die Wahrnehmung der Oktave über linguistische und auditive Unterschiede hinweg verallgemeinert (für mehr auditive Illusionen siehe Deutsch, 2011). Diese psychologischen Anforderungen, die in der Mathematik kodifiziert sind, gelten auch für das Sehen.

Wir mögen Dinge in "Brocken" sehen. Mathematik war die früheste Disziplin, die dieses psychologische Bedürfnis widerspiegelte, indem sie die Zahl "Eins" erfand. Diese Basis einer "Entität" bildet die umgekehrte Pyramide der Mathematik. Ohne ein "Eins" gibt es keine Mathematik. Aber es gibt Probleme mit der Nummer eins. Es gibt einen Punkt, an dem eine "Eins" nicht mathematisch definiert werden kann oder wo sie sich nicht einer bestimmten Art und Weise wie etwa der Differenzierbarkeit anpasst. Diese Singularität – die sich für Mathematiker zum Beispiel bei der Erklärung der Quantenphysik als so problematisch erweist – ist nur ein Problem für Mathematiker, denn eine Entität von "Eins" ist die perfekte Schöpfung unseres Geistes und nicht der Natur. Tatsächlich kann die Quantenphysik die Superposition, Verschränkung und andere Quantenmechanik nur dadurch erklären, dass sie das "Eine" vom Satz entfernt. Indem wir die Klammer um "Eins" entfernen, lässt sich die Quantenphysik besser erklären, obwohl wir dann unsere Psychologie und die Abhängigkeit von unserer Wahrnehmung getrennter Entitäten neu ansprechen müssen. Von einem psychologischen Punkt aus kann dies leichter erreicht werden, als dass die Quantenphysik gezwungen wird, sich an die Psychologie anzupassen.

Geschichte war schon einmal hier. Pythagoras – nachdem er die Hand Gottes in der Konstruktion von Musik verfolgt hatte – dachte, dass jeder der sieben Planeten je nach seiner Umlaufbahn um die Erde bestimmte Töne erzeugte. Dies war Musica Mundana und für Pythagorianer haben verschiedene musikalische Modi unterschiedliche Auswirkungen auf die Person, die sie hört. Der Mathematiker Boethius (480-524 n. Chr.) Erläuterte, dass die Seele und der Körper den gleichen Gesetzen der Proportion unterliegen, die die Musik und den Kosmos selbst bestimmen. Wie der italienische Semiotiker Umberto Eco bemerkte, sind wir am glücklichsten, wenn wir uns an diese Gesetze halten, denn "wir lieben Ähnlichkeit, aber hassen und ärgern Unstimmigkeiten" (Eco, 2002; p31).

Dies ist nicht das erste Mal, dass Mathematiker glaubten, sie hätten die Hand Gottes berührt, und es wird auch nicht das letzte Mal sein. Aber was Pythagoras berührt hat, ist unsere Psychologie. Indem sie sich auf gefällige Muster, Ähnlichkeiten und Ordnung konzentrieren, erforschen Mathematiker die Grundlagen unserer Psyche. Dazu mussten sie Regeln und "gemeinsame Vorstellungen" aufstellen, die all diese Gedanken zu einer kohärenten Sprache verbinden, die sich in Mathematik übersetzen lässt. Zum Beispiel, wenn wir Euklid (4. Jahrhundert v. Chr.) Fünf "gemeinsame Begriffe" nehmen, wie in den Elementen definiert:

• Dinge, die der gleichen Sache gleich sind, sind auch einander gleich

• Wenn Gleichungen zu Gleichen addiert werden, sind die Ganzheiten gleich

• Wenn equals von equals abgezogen werden, sind die restlichen gleich

• Dinge, die miteinander übereinstimmen, sind einander gleich

• Das Ganze ist größer als das Teil.

Es besteht eine eindeutige Beziehung zur klassischen euklidischen Mathematik und Gestaltpsychologie. Die Gestaltpsychologie hat Regeln, die diese gemeinsamen euklidischen Begriffe widerspiegeln (Lagopoulos & Boklund-Lagopoulou, 1992). Aber es gab weitere Entwicklungen. Der fruchtbare Schweizer Psychologe Jean Piaget (1896-1980) entdeckte bei der Untersuchung der Raumkonzeption von Kindern hochgradig abstrakte mathematische Strukturen in der ursprünglichen Raumkonzeption des Kindes. Er argumentiert, dass die weitere Entwicklung des geometrischen Raums nicht so verstanden werden sollte, dass sie die Fähigkeit der sich entwickelnden physiologischen Funktionen des Kindes widerspiegelt, sondern als ein Produkt der Interaktion des Kindes mit der Welt. Das Kind baut ständig spezifische Wahrnehmungsstrukturen auf und reorganisiert die räumliche Konzeption. Dementsprechend haben Euklids Elemente und die topologischen Eigenschaften von Formen ihren Ursprung weder in der Welt noch in der Geschichte der Wissenschaften, sondern in kognitiven Schemata, die wir in unserer täglichen Interaktion mit Objekten aufbauen.

Das gleiche Verständnis – dass in unseren kognitiven Prozessen eine mathematische Struktur eingebettet ist – schließt die Notwendigkeit von Mathematik oder Sprache aus. Diese Sätze existieren unabhängig, weil das Gehirn so strukturiert ist. Ein gutes Beispiel für diese vormathematische und vorsprachliche Fähigkeit ist ein Stamm, der in seiner Sprache keinen Zahlenbegriff hat. Dan Everetts Beschreibung der Pirahã-Sprache im südlichen Amazonasbecken deckt die verwickelte Beziehung zwischen mathematischen Konstrukten und unserer kognitiven Kapazität auf (Everett 2012). Die Pirahã-Sprache hat keine Klausel-Unterordnung (zB nach, denn, wenn), tatsächlich hat sie keine grammatikalische Einbettung jeglicher Art, und sie hat keine quantifizierenden Worte (zB viele, wenige, keine); und es hat überhaupt keine Zahlwörter (zB eins, zwei, viele). Aber sie können immer noch zählen und komplexe mathematische Vergleiche trotz fehlender sprachlicher Struktur durchführen. Das Hauptdefizit besteht darin, dass sie sich diese Funktionen nicht merken können. Sie können also nur für die unmittelbare Situation mathematische Funktionen ausführen. In Popperschen Begriffen haben sie kein Konstrukt der Mathematik der Dritten Welt, um eine abstrakte Repräsentation von Zahlen zu erhalten, die Mathematiker durch mathematische Symbole erhalten können. Und Mathematiker haben diese Sprache geschaffen, diese Mathematik, in der "Eins" die Grundlage bildet.

Die Mathematik hat sich jedoch weiterentwickelt und baut auf diesem Konzept von "Eins" auf. Es wäre naiv anzunehmen, dass die Mathematik als Disziplin stehen geblieben ist. Obwohl die frühe Vorstellung von "Eins" eine sehr restriktive Zahl ist, in der "Zahl" "natürliche Zahl" bedeutet, entwickelte sich die Mathematik zu einer weniger restriktiven Vorstellung von "Eins", in der sie "Ganzzahl" bedeutet; dann bedeutet Rationale; dann reels, und dann komplexe Zahlen. Bei solchen Schöpfungen gibt es eine differenziertere Wertschätzung der endlichen Interpretationen von "Eins". In der Psychologie können wir einen Menschen (auch einen) unterscheiden und dann über Aggregate oder zusammengesetzte Merkmale wie Familie, Gemeinschaft oder Kopf, Augen, Nase (Real) sprechen und dann komplexe Zahlen wie Millionär werden, sich scheiden lassen, verlieren ein Glied, blind werden (komplexe Zahlen). Die Mathematik hat den Bereich der Zahlen nicht erweitert, sondern liberalisiert, was wir mit "Zahl" und als Kollinearität meinen, was wir mit "Eins" meinen. Unsere Annahme, dass es eine einzige Zahl "Eins" gibt "Und wenn wir das Zahlensystem erweitern und einfach" Funktionen "zu den Zahlen hinzufügen, die schon da waren, ist das nicht, was Mathematik geworden ist. Es gibt so viele "Einsen" wie es Arten von Zahlen gibt. Aber indem wir die Bedeutung neu definieren, schaffen wir eine neue Definition von "Eins". Eine Definition, die für Untersuchungen und Studien weniger verdächtig ist und weniger eine Beziehung zu irgendetwas Greifbarem hat (Fine, 2012). Gregory Chaitins Entdeckung der Omega-Zahl, eine Zufallszahl, die nicht auf einen Algorithmus oder Satz zurückgeführt werden kann, und das Chaitin-Kolmogorov-Paradox deuten auf die Fehlbarkeit der Mathematik hin. Es gibt keine singuläre Erkenntnistheorie – eine Art, Wissen zu sammeln -, die umfassend genug ist, um die Komplexität unserer Realität zu erklären.

Wir denken auf sehr komplexe Weise, die immer noch nicht verstanden werden, weiterhin falsch dargestellt werden und missverstanden werden. Das menschliche Gehirn hat mehr synaptische Übertragungen als wir Sterne im Universum haben. Die Fähigkeit zum menschlichen Denken ist immens. Es zeichnen sich Hinweise ab, dass wir auf sehr abstrakte Weise denken, die die Entwicklung von Theoremen in der Mathematik widerspiegeln. Aber es wird genauer sein, diese Logik umzukehren. Die holographische Theorie des Denkens ist nur eine grobe Methode, dieses Universum des Denkens zu repräsentieren. Es ist plausibel, dass Mathematik ein Portal sein könnte, um unsere Psyche, unsere Kunst und unser Verhalten zu verstehen. Wir könnten unsere Grenzen und unsere Eigenschaften kennenlernen und die Erforschung eines Prozesses ermöglichen, den wir noch nicht kennen und den wir nicht kennen können. Wir wachsen mit der Entwicklung unseres Denkens als Theoreme auf – trotz der Tatsache, dass unsere Sprache in manchen Fällen kein solches Denken unterstützt – benutzen wir immer noch angeborene Mathematik, um unser Gefühl für Zahlen und Muster zu entwickeln. Wir sehen dies auch bei einer Vielzahl von Tieren (Beran, 2008). Mathematik ist unsere Art, über Arten hinweg zu denken. Wir wachsen einfach daraus hervor, ebenso wie Mathematiker, die einfach nur brillante Mathematiker werden und sich in kulturelles Denken (Sprache, Rollen und kulturelle Moral) verwandeln. Mathematiker haben ein kurzes Leben der Brillanz, da ihre natürlichen Denkprozesse schließlich von pragmatischen übernommen werden Bedenken. Das ist das Endziel unseres Gehirns, das Überleben in der realen Erfahrungswelt. Überleben in einer empfindungsfähigen Welt – einer Welt, in der Gefühle und Erfahrungen vorherrschen. Aber die Mathematik kann die Grundlage für die Formalisierung der Theorien unserer Denkprozesse, Sinnesempfindungen und Gefühle bilden. Wir müssen über die Silos der Disziplinen hinausblicken und unsere Menschlichkeit als mehr betrachten, als Menschen gegen die Hand Gottes zu stellen und einfach die Hand Gottes als unser eigenes Genie zu betrachten, das darauf wartet, anerkannt zu werden. Wir betrachten den Tanz des Universums und hören nicht auf die Musik, die ihn zum Tanzen bringt.

Verweise

Beran, MJ (2008). Die evolutionären und entwicklungsgeschichtlichen Grundlagen der Mathematik.

Carr B (1977). Poppers Dritte Welt. Das Philosophische Vierteljahr Vol. 27, Nr. 108, S. 214-226

Diana Deutsch Aufgerufen 20.06.2015 :: http://deutsch.ucsd.edu/psychology/pages.php?i=201)

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Everett C (2012). Ein näherer Blick auf eine angeblich anumerische Sprache 1. International Journal of American Linguistics, 78 (4), 575-590.

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Kirk GS und Raven JE (1964). Die Präsokratischen Philosophen, Cambridge University Press.

Lagopoulos, AP & Boklund-Lagopoulou, K. (1992). Bedeutung und Geografie: Die soziale Konzeption der Region in Nordgriechenland (Nr. 104). Walter de Gruyter.

Ross KL (2011) Mathematik & Musik, nach Pythagoras. Abgerufen 20.08.2015: http://www.friesian.com/music.htm

Stillwell J (2006). Sehnsucht nach dem Unmöglichen: Die überraschenden Wahrheiten der Mathematik AK Peters, Ltd.

Ich bin David Edwards, emeritierter Professor für Mathematik an der Universität Georgia, zu Dank verpflichtet, weil er mit mir die Feinheiten einiger dieser Gedanken diskutiert hat. Ein solch sachkundiger und herausfordernder Gegner hat das Denken dieses Arguments gefördert und eine viel klarere These hervorgebracht. Alle Fehldarstellungen, Mängel und Fehlmengen liegen jedoch allein in meiner Verantwortung.

Nach der Veröffentlichung dieses Blogs wurde mir mitgeteilt, dass es ein Buch von Stanislas Dehaene mit dem Titel Number Sense gibt, in dem diskutiert wird, wie unser kognitives Werkzeug mathematisch ist. Hier gibt es einen genauen Zugang:
http://www.unicog.org/publications/Dehaene_PrecisNumberSense.pdf

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