Eine der interessantesten Eigenschaften des menschlichen Gehirns ist seine Fähigkeit, allgemeine Prinzipien aus bestimmten Fällen zu extrahieren. Nach Meinung vieler Philosophen und Psychologen ist die Verallgemeinerung ein wichtiger Aspekt der Erkenntnis, die gleichzeitig die Denkkräfte des Gehirns nährt und erweitert. Der deutsche Philosoph Hegel formulierte es so: "Eine Idee ist immer eine Verallgemeinerung, und Verallgemeinerung ist eine Eigenschaft des Denkens. Verallgemeinern heißt denken "(aus The Philosophy of Right , 1821).
Der vielleicht hirnsteigerndste Aspekt beim Lösen von Rätseln ist die Tatsache, dass uns ein bestimmtes Puzzle-Genre häufig dazu antreibt, nach einem versteckten allgemeinen Muster oder Strukturprinzip zu suchen, das den verschiedenen Versionen des Puzzles innewohnt. In diesem Blog wird das bekannte Genre der "zusammenpassenden" Rätsel gezeigt, um zu zeigen, wie diese angeborene Fähigkeit des Gehirns entfaltet wird – eine Fähigkeit, die in uns allen vorhanden ist, selbst wenn sie Rätsel lösen.
Beginnen wir mit einem einfachen Puzzle dieser Art:
In einer Schachtel sind 20 Billardkugeln, 10 weiße und 10 schwarze, zufällig in der Schachtel verstreut. Sie alle fühlen sich gleich. Mit einer Augenbinde auf, was ist die geringste Anzahl von Bällen, die du herausziehen musst, um ein Paar Bälle zu erhalten, die farblich übereinstimmen: zwei weiße oder zwei schwarze Bälle?
Viele Neuankömmlinge in dieser Art von Puzzles neigen dazu, etwas in folgenden Richtungen zu denken:
Wenn der erste Ball, den ich herausziehe, weiß ist, dann brauche ich einen weiteren weißen, um ihn zu treffen. Aber der nächste Ball könnte schwarz sein, so wie der nächste, und der nächste danach und so weiter. Um sicherzugehen, dass ich ein Match bekomme, muss ich (im Prinzip) alle schwarzen Bälle aus der Box-10 entfernen. Der nächste, den ich danach entferne, ist dann unbedingt weiß, da das die Farbe der Kugeln ist, die in der Box übrig sind. Einschließlich des ersten weißen Balls, den ich herausholte, der zehn schwarzen Bälle, die ich entfernen musste, und des einen weißen Balls, der schließlich zusammenpasst, ist 12 die Mindestanzahl an Bällen, die ich herausholen muss.
Diese Argumentation lässt jedoch nicht erkennen, was das Puzzle wirklich erfordert – die Farbe von zwei Bällen anzupassen, nicht nur die Farbe der ersten Kugel, die zufällig weiß war. Die richtige Argumentation geht so. Angenommen, der erste herausgezogene Ball ist tatsächlich ein weißer. Wenn du Glück hast, ist der nächste Ball, den du ziehst, ebenfalls weiß und das Spiel ist vorbei! Aber Sie können dieses glücksbasierte Szenario nicht annehmen. Sie müssen im Gegenteil das Worst-Case-Szenario annehmen, das heißt, dass der nächste Ball, den Sie herausziehen, schwarz ist. So haben Sie nach zwei Ziehungen im schlimmsten Fall einen weißen und einen schwarzen Ball aus der Schachtel genommen. Offensichtlich hätte man zuerst eine schwarze Kugel und eine weiße eine Sekunde herausziehen können. Das Endergebnis wäre das gleiche gewesen: ein weißer und ein schwarzer Ball nach zwei Ziehungen.
Nun, hier ist der Kern der Lösung – der nächste Ball, den Sie aus der Box ziehen, ist natürlich entweder weiß oder schwarz. Egal welche Farbe dieser dritte Ball hat, er passt zu der Farbe eines der beiden bereits gezogenen. Wenn es weiß ist, wird es mit dem weißen Ball außerhalb der Box übereinstimmen; Wenn es schwarz ist, wird es mit dem schwarzen Ball außerhalb der Box übereinstimmen. Sie werden dann ein Paar Kugeln der passenden Farbe haben. Also, die geringste Anzahl an Bällen, die du aus der Box ziehen musst, um ein Paar übereinstimmende Bälle zu erhalten, sind drei .
Als nächstes fügen wir dem Mix eine Farbe hinzu.
In einer Schachtel liegen 30 Billardkugeln, 10 weiße, 10 schwarze und 10 rote zufällig in der Schachtel. Auch hier fühlen sich alle gleich. Mit verbundenen Augen, was ist die geringste Anzahl an Bällen, die du diesmal ziehen musst, um ein Paar Bälle zu erhalten, die übereinstimmen: zwei weiße oder zwei schwarze oder zwei rote?
Erneut erhöhen wir die Farbmischung um eine weitere.
In einer Schachtel sind 40 Billiardkugeln, 10 weiße, 10 schwarze, 10 rote und 10 grüne zufällig in der Schachtel verstreut. Auch hier fühlen sich alle gleich. Mit einem Augenbinde auf, was ist die geringste Anzahl von Bällen, die Sie herausziehen müssen, um ein Paar Bälle zu erhalten, die übereinstimmen: zwei weiße oder zwei schwarze oder zwei rote oder zwei grüne Bälle?
Lasst es uns ein letztes Mal erhöhen.
In einer Schachtel sind 50 Billiardkugeln, 10 weiße, 10 schwarze, 10 rote, 10 grüne und 10 blaue zufällig in der Schachtel verstreut. Auch hier fühlen sich alle gleich. Mit einem Augenbinde auf, was ist die geringste Anzahl von Bällen, die Sie herausziehen müssen, um ein Paar Bälle zu bekommen, die übereinstimmen: das heißt, zwei weiße oder zwei schwarze oder zwei rote oder zwei grüne oder zwei blaue?
Siehst du an diesem Punkt ein Muster? Was ist es? Ändert die Anzahl der Kugeln einer Farbe das Muster? Das heißt, was passiert, wenn die Anzahl der Kugeln im letzten Puzzle 10 weiß, 9 schwarz, 6 rot, 4 grün und 1 blau ist ?
Hier ist eine interessante und knifflige Version dieser Art von Puzzle:
Wenn es 6 Paar schwarze Schuhe und 6 Paar weiße Schuhe in einer Schachtel gibt, alles gemischt, was ist die geringste Anzahl an Zügen, die Sie mit einer Augenbinde machen müssen, um sicher zu sein, dass Sie ein passendes Paar schwarze oder weiße Schuhe haben?
Zusammenfassend glaube ich, dass einer der wichtigsten Aspekte des Lösens von Rätseln die Fähigkeit ist, Generalisierungsprozesse spontan anzuregen und zu verstärken. Es scheint, dass das menschliche Gehirn nicht bei dem Besonderen stehen bleiben kann, sondern programmiert ist, um Prinzipien der allgemeinen Struktur oder des Entwurfs in der Information, die es verarbeitet, zu extrahieren. Wie der englische Historiker Thomas Babington Macaulay beobachtet in der Edinburgh Review of 1825, "Verallgemeinerung ist notwendig für den Fortschritt des Wissens." Das Lösen von Rätseln wie die hier vorgestellten können zeigen, warum das so ist und warum es so selbstverständlich für uns ist.
Antworten
Die Begründung für die 30-Ball, Drei-Farben-Version ist die gleiche. Sie beginnen mit dem Worst-Case-Szenario. Was ist das? Es zeichnet drei Kugeln in drei verschiedenen Farben auf – weiß, schwarz und rot. Nun, der vierte Ball, den du herausziehst, egal welche Farbe er hat, passt zu einer der drei Farben außerhalb der Box, da er nur weiß, schwarz oder rot sein kann.
Die Begründung für die 40-Ball, Vier-Farben-Version ist genau das gleiche. Sie beginnen mit der Annahme des Worst-Case-Szenarios, das darin besteht, vier Kugeln in vier verschiedenen Farben zu zeichnen – weiß, schwarz, rot und grün. Der fünfte Ball, den Sie ziehen, passt jedoch zu einem dieser vier außerhalb der Box.
Unnötig zu sagen, dass die Begründung für die 50-Ball, fünf-Farben-Version auch die gleiche ist. Sie beginnen mit dem Worst-Case-Szenario. Für diese Version besteht das Zeichnen von fünf Bällen in fünf verschiedenen Farben – weiß, schwarz, rot, grün und blau. Der sechste Ball, den du herausziehst, passt jedoch zu einem dieser fünf außerhalb der Box.
Was ist das allgemeine Muster? Wenn zwei Bälle in der Box sind, brauchen wir drei Remis, um ein Match zu bekommen. Wenn es drei gibt, brauchen wir vier Ziehungen; Wenn es vier gibt, brauchen wir fünf; Wenn es fünf gibt, brauchen wir sechs. Dieses Muster wird immer weitergehen, weil die Argumentation in allen Fällen dieselbe ist. Das Muster ist einfach, dass ein weiterer Zug als die Anzahl der Farben erforderlich ist, um sicherzustellen, dass ein Paar Kugeln mit übereinstimmender Farbe herausgezogen wird.
Ändern der Anzahl der Kugeln der Farben ändert nicht das Lösungsmuster. Hier ist der Grund. Nehmen wir an, es gibt 10 weiße und nur 1 schwarze in der Box. Im schlimmsten Fall ziehen Sie immer noch 1 Weiß und 1 Schwarz aus. Die dritte Ziehung wird jedoch notwendigerweise einen weißen Ball erzeugen – das ist die einzige Farbe der Kugeln, die in der Box zurückgeblieben sind -, um mit dem bereits gezogenen weißen Ball übereinzustimmen. Die gleiche Art von Argumentation kann immer wieder verwendet werden. Also bleibt die allgemeine Regel, egal wie viele Bälle für jede Farbe benötigt werden.
Die Antwort auf das Schuhproblem ist 13. Es gibt insgesamt 24 Schuhe in der Box: 6 Paar schwarze Schuhe = 12 schwarze Schuhe; 6 Paar weiße Schuhe = 12 weiße Schuhe. Von den 24 sind die Hälfte rechtsfüßig und die Hälfte linksfüßig. In einem Worst-Case-Szenario können wir alle 12 Schuhe mit Linksfuß (davon 6 schwarz und 6 weiß) oder alle 12 Schuhe mit rechtsgerichtetem Fuß (davon 6 schwarz und 6 weiß) auswählen. Der dreizehnte Schuh, der gezogen wird, wird jedoch einer dieser zwölf passen.
Nehmen wir genauer an, dass wir die 12 Schuhe mit Linksfuß, 6 schwarz und 6 weiß, herausgezogen haben. Der dreizehnte Ziehvorgang kann nur einen Schuh herstellen, der mit der rechten Fußform übereinstimmt, da keine Schuhe mit Linksfuß mehr in der Kiste verbleiben. Und natürlich kann es schwarz oder weiß sein. In jedem Fall wird es eine übereinstimmende Farbe sein. Nehmen Sie an, wir haben die 12 Schuhe mit den richtigen Füßen herausgezogen – 6 schwarz und 6 weiß. Der dreizehnte Zug kann nur einen linksseitigen Schuh herstellen, da in der Kiste keine Schuhe mehr vorhanden sind, die rechts auf den Fuß passen. Und es wird schwarz oder weiß sein. In jedem Fall wird es eine übereinstimmende Farbe sein.
